oliobl2021-12-4b | maths.bg

За всяко цяло неотрицателно число

k \in \mathbb{N}_{0}

B_{k}

означаваме множеството от степени на двойката в единственото (двоично) представяне на

k

като сума от степени на двойката. Например,

B_{12}=\left\{2^{3}, 2^{2}\right\}

. За двойките числа

m, n \in \mathbb{N}_{0}

дефинираме операцията

m \oplus n=\sum_{b \in B_{m} \triangle B_{n}} b

, където

B_{m} \triangle B_{n}=\left\{B_{m} \cup B_{n}\right\} \backslash\left\{B_{m} \cap B_{n}\right\}

е множеството от елементи, съдържащи се в точно едно от множествата

B_{m}

B_{n}

, т. е

m \oplus n

е сумата от различните степени на двойката в двоичното представяне на

m

n

, като сумата от елементите на празното множество приемаме за 0. Например

12 \oplus 10=2^{2}+2^{1}=6

. Нека

f: \mathbb{N}_{0} \times \mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{N}_{0}

е дефинирана по следния начин:

(*)

f(0, 0)=0

;

(*)

За

(m, n) \neq(0, 0)

дефинираме

f(m, n): =\min _{k \in \mathbb{N}_{0}}\left\{k \notin\left\{f\left(m^{\prime}, n\right): 0 \leq m^{\prime}\lt{}m\right\} \cup\left\{f\left(m, n^{\prime}\right): 0 \leq n^{\prime}\lt{}n\right\}\right\}.

Да се докаже, че

f(m, n)=m \oplus n

за всички естествени числа

m

n

Бележка към материала

За всяко цяло неотрицателно число

k \in \mathbb{N}_{0}

B_{k}

означаваме множеството от степени на двойката в единственото (двоично) представяне на

k

като сума от степени на двойката. Например,

B_{12}=\left\{2^{3}, 2^{2}\right\}

. За двойките числа

m, n \in \mathbb{N}_{0}

дефинираме операцията

m \oplus n=\sum_{b \in B_{m} \triangle B_{n}} b

, където

B_{m} \triangle B_{n}=\left\{B_{m} \cup B_{n}\right\} \backslash\left\{B_{m} \cap B_{n}\right\}

е множеството от елементи, съдържащи се в точно едно от множествата

B_{m}

B_{n}

, т. е

m \oplus n

е сумата от различните степени на двойката в двоичното представяне на

m

n

, като сумата от елементите на празното множество приемаме за 0. Например

12 \oplus 10=2^{2}+2^{1}=6

. Нека

f: \mathbb{N}_{0} \times \mathbb{N}_{0} \rightarrow \mathbb{N}_{0}

е дефинирана по следния начин:

(*)

f(0, 0)=0

;

(*)

За

(m, n) \neq(0, 0)

дефинираме

f(m, n): =

\min _{k \in \mathbb{N}_{0}}\left\{k \notin\left\{f\left(m^{\prime}, n\right): 0 \leq m^{\prime}\lt{}m\right\} \cup\left\{f\left(m, n^{\prime}\right): 0 \leq n^{\prime}\lt{}n\right\}\right\}.

Да се докаже, че

f(m, n)=m \oplus n

за всички естествени числа

m

n

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол

Клас

Състезания

Тагове

Колекции