pms2015-12-1 | maths.bg

а) Да се докаже, че функцията

f(x)=x^{3}+4 x^{2}+6 x

е строго растяща в множеството на реалните числа. б) Да се намерят всички стойности на реалния параметър

a

, за които уравнението

x^{3}+5 x=(a-4) x^{2}-a+4 \sqrt[3]{\vphantom{x^2}\left(a x^{2}+x-a\right)^{2}}+6 \sqrt[3]{\vphantom{x^2}a x^{2}+x-a}

има точно две

Бележка към материала

а) Да се докаже, че функцията

f(x)=x^{3}+4 x^{2}+6 x

е строго растяща в множеството на реалните числа. б) Да се намерят всички стойности на реалния параметър

a

, за които уравнението

x^{3}+5 x=

(a-4) x^{2}-a+4 \sqrt[3]{\vphantom{x^2}\left(a x^{2}+x-a\right)^{2}}

+6 \sqrt[3]{\vphantom{x^2}a x^{2}+x-a}

има точно две

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол