pms2022-8-4 | maths.bg

Нека

p=\left(a_{1}; a_{2}; \ldots; a_{12}\right)

е пермутация на числата

1, 2, \ldots, 12

. Ще бележим

S_{p}=\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\cdots+\left|a_{11}-a_{12}\right|

. Ще наричаме

p

оптимистична, ако

a_{i}\gt{}\min \left(a_{i-1}; a_{i+1}\right)

за всяко

i=2, \ldots, 11

. a) Коя е най-голямата възможна стойност на

S_{p}

? Колко са пермутациите

p

, при които тази стойност се реализира? б) Колко са всички оптимистични

p

? в) Коя е най-голямата възможна стойност на

S_{p}

за оптимистична

p

? Колко са оптимистичните

p

, при които тази стойност се реализира?

Бележка към материала

Нека

p=\left(a_{1}; a_{2}; \ldots; a_{12}\right)

е пермутация на числата

1, 2, \ldots, 12

. Ще бележим

S_{p}=\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\cdots+\left|a_{11}-a_{12}\right|

. Ще наричаме

p

оптимистична, ако

a_{i}\gt{}\min \left(a_{i-1}; a_{i+1}\right)

за всяко

i=2, \ldots, 11

. a) Коя е най-голямата възможна стойност на

S_{p}

? Колко са пермутациите

p

, при които тази стойност се реализира? б) Колко са всички оптимистични

p

? в) Коя е най-голямата възможна стойност на

S_{p}

за оптимистична

p

? Колко са оптимистичните

p

, при които тази стойност се реализира?

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол

Клас

Състезания

Тагове

Колекции