somnt2020-9-3 | maths.bg

Нека

P

Q

са неконстантни полиноми с цели неотрицателни коефициенти и старши коефициент 1, а

k

е естествено число. Естествените числа

a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}, a_{i} \geq 2

за

i=1, 2, \ldots, k

, са такива, че за всяко естествено число

n

числото

\left(a_{1}^{P(n)}+Q(n)\right)\left(a_{2}^{P(n)}+Q(n)\right) \ldots\left(a_{k}^{P(n)}+Q(n)\right)

е точен квадрат. Да се докаже, че числото

a_{1} a_{2} \ldots a_{k}

също е точен квадрат.

Бележка към материала

Нека

P

Q

са неконстантни полиноми с цели неотрицателни коефициенти и старши коефициент 1, а

k

е естествено число. Естествените числа

a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}, a_{i} \geq 2

за

i=1, 2, \ldots, k

, са такива, че за всяко естествено число

n

числото

\left(a_{1}^{P(n)}+Q(n)\right)\left(a_{2}^{P(n)}+Q(n)\right) \ldots\left(a_{k}^{P(n)}+Q(n)\right)

е точен квадрат. Да се докаже, че числото

a_{1} a_{2} \ldots a_{k}

също е точен квадрат.

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол