В социалната мрежа Mugbook са регистрирани безкрайно много хора. Някои двойки различни потребители са отбелязани като приятели, но всеки човек има само краен брой приятели. Всеки потребител има поне един приятел. Приятелството е симетрично: ако е приятел на , то е приятел на .
Всеки човек трябва да посочи един от приятелите си като свой най-добър приятел. Ако посочи за най-добър приятел, не е задължително също да посочи .
Човек, който е посочен за най-добър приятел от някого, се нарича -най-добър приятел. По-общо, ако , потребител е -най-добър приятел, ако е посочен за най-добър приятел от някой, който е -най-добър приятел. Човек, който е -най-добър приятел за всяко положително цяло число , се нарича популярен.
(a) Докажете, че всеки популярен човек е най-добрият приятел на популярен човек.
(b) Покажете, че ако хората могат да имат безкрайно много приятели, е възможно популярен човек да не е най-добрият приятел на популярен човек.
В социалната мрежа Mugbook са регистрирани безкрайно много хора. Някои двойки различни потребители са отбелязани като приятели, но всеки човек има само краен брой приятели. Всеки потребител има поне един приятел. Приятелството е симетрично: ако е приятел на , то е приятел на .
Всеки човек трябва да посочи един от приятелите си като свой най-добър приятел. Ако посочи за най-добър приятел, не е задължително също да посочи .
Човек, който е посочен за най-добър приятел от някого, се нарича -най-добър приятел. По-общо, ако , потребител е -най-добър приятел, ако е посочен за най-добър приятел от някой, който е -най-добър приятел. Човек, който е -най-добър приятел за всяко положително цяло число , се нарича популярен.
(a) Докажете, че всеки популярен човек е най-добрият приятел на популярен човек.
(b) Покажете, че ако хората могат да имат безкрайно много приятели, е възможно популярен човек да не е най-добрият приятел на популярен човек.
Да се намерят всички функции , такива, че иза произволни .
Нека е редица от положителни числа, за които , и т. н. Да се намери най-малката възможна стойност на .
Нека е естествено число. Да се намерят всички цели числа , за които полиномътможе да се напише като произведение на два полинома с цели коефициенти, всеки от които е от степен поне единица.
Да се намери най-малкото естествено число със следното свойство:
Както и да оцветим клетки на таблица винаги има три оцветени клетки, които образуват правоъгълен триъгълник с катети успоредни на страните на таблицата.
Нека е просто число. Разглеждаме множествата
и първата различна от координата на е 1 и
y
Нека е граф с множество от върхове и множество от ребра
Едно множество от върхове ще наричаме представително за , ако всеки връх от се съдържа в или е съседен (свързан с ребро) с връх от .
Да се намери минималният брой върхове в едно представително множество за
Още задачи при скрол