Върху окръжност Алина начертава хорди, чиито краища са всички различни. Една точка се нарича маркирана, ако е или
- един от -те края на хорда; или
- пресечна точка на поне две хорди.
От -те точки от първия вид Алина означава точки с , а останалите точки с . Всяка точка от втория вид тя означава с произволно цяло число, не непременно положително.
По всяка хорда Алина разглежда отсечките между две съседни маркирани точки. (Ако върху една хорда има маркирани точки, тя дава такива отсечки.) Върху всяка такава отсечка тя записва в жълто сбора на числата в двата ѝ края, а в синьо - абсолютната стойност на тяхната разлика. Алина установява, че жълтите числа, които са на брой, приемат всяка от стойностите точно по веднъж. Докажете, че поне едно синьо число е кратно на .
Върху окръжност Алина начертава хорди, чиито краища са всички различни. Една точка се нарича маркирана, ако е или
- един от -те края на хорда; или
- пресечна точка на поне две хорди.
От -те точки от първия вид Алина означава точки с , а останалите точки с . Всяка точка от втория вид тя означава с произволно цяло число, не непременно положително.
По всяка хорда Алина разглежда отсечките между две съседни маркирани точки. (Ако върху една хорда има маркирани точки, тя дава такива отсечки.) Върху всяка такава отсечка тя записва в жълто сбора на числата в двата ѝ края, а в синьо - абсолютната стойност на тяхната разлика. Алина установява, че жълтите числа, които са на брой, приемат всяка от стойностите точно по веднъж. Докажете, че поне едно синьо число е кратно на .
Вярно ли е, че за всеки полином с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число , такова че уравнението няма рационален корен?
Да се реши в естествени числа уравнението
Да се намери най-малкото естествено число , за което уравнениетоняма
Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа За всяко естествено число е изпълнено неравенството . Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа и , за които дели .
Върху страните и на , външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове и . Симетралите на отсечките и пресичат страните и съответно във вътрешни точки и .
a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците и .
б) Да се намерят ъглите и .
Още задачи при скрол