VON EGMO 2020/2 | maths.bg

Намерете всички списъци

(x_1,x_2,\ldots,x_{2020})

от неотрицателни реални числа, които удовлетворяват следните три условия:

x_1\le x_2\le \cdots\le x_{2020},

x_{2020}\le x_1+1,

и съществува пермутация

(y_1,y_2,\ldots,y_{2020})

на

(x_1,x_2,\ldots,x_{2020})

, такава че

\sum_{i=1}^{2020}\big((x_i+1)(y_i+1)\big)^2=8\sum_{i=1}^{2020}x_i^3.

Бележка към материала

Намерете всички списъци

(x_1,x_2,\ldots,x_{2020})

от неотрицателни реални числа, които удовлетворяват следните три условия:

x_1\le x_2\le \cdots\le x_{2020},

x_{2020}\le x_1+1,

и съществува пермутация

(y_1,y_2,\ldots,y_{2020})

на

(x_1,x_2,\ldots,x_{2020})

, такава че

\sum_{i=1}^{2020}\big((x_i+1)(y_i+1)\big)^2=

8\sum_{i=1}^{2020}x_i^3.

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол