VON IMO 1997/3 | maths.bg

Нека

x_1,x_2,\ldots,x_n

са реални числа, за които

|x_1+x_2+\cdots+x_n|=1,\qquad |x_i|\le\frac{n+1}{2}\quad(i=1,2,\ldots,n).

Докажете, че съществува пермутация

y_1,y_2,\ldots,y_n

на

x_1,x_2,\ldots,x_n

, такава че

|y_1+2y_2+\cdots+ny_n|\le\frac{n+1}{2}.

Бележка към материала

Нека

x_1,x_2,\ldots,x_n

са реални числа, за които

|x_1+x_2+\cdots+x_n|=1,

\qquad |x_i|\le\frac{n+1}{2}\quad(i=1,2,\ldots,n).

Докажете, че съществува пермутация

y_1,y_2,\ldots,y_n

на

x_1,x_2,\ldots,x_n

, такава че

|y_1+2y_2+\cdots+ny_n|\le\frac{n+1}{2}.

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Още задачи при скрол