Множество от точки в пространството ще наричаме напълно симетрично, ако има поне три елемента и изпълнява следното условие: за всеки две различни точки и от равнината, която е перпендикулярна на и минава през средата на , е равнина на симетрия за . Докажете, че ако едно напълно симетрично множество е крайно, то се състои от върховете или на правилен многоъгълник, или на правилен тетраедър, или на правилен октаедър.
Множество от точки в пространството ще наричаме напълно симетрично, ако има поне три елемента и изпълнява следното условие: за всеки две различни точки и от равнината, която е перпендикулярна на и минава през средата на , е равнина на симетрия за . Докажете, че ако едно напълно симетрично множество е крайно, то се състои от върховете или на правилен многоъгълник, или на правилен тетраедър, или на правилен октаедър.
Да се намери най-малкото естествено число със следното свойствоако в равнината са дадени кръга, никои два от които нямат обща точка, произволни точки от вътрешностите им (по една точка от всеки кръг) и произволна точка , то със сигурност поне едно от разстоянията е по-голямо или равно на радиуса на поне един от кръговете.
Върху ръба на куб е взета точка така, че правата сключва с равнината ( ) ъгъл с големина . Да се намери тангенсът на ъгъла между тази равнина и равнината на основата на куба.
В една социална мрежа някои участници са приятели, а други не (приятелството е взаимно). Известно е, че в социалната мрежа има поне едно приятелство и за никои двама, които имат един и същи брой приятели, не съществува трети участник, който да е приятел едновременно и с двамата. Да се докаже, че съществува участник, който има само един приятел.
Да се докаже, че множеството може да се разбие на 5 групи така, че нито една от тях да не съдъжа 11 членна аритметична прогресия.
Да се реши в естествени числа уравнението .
Още задачи при скрол