VON IMO 2002/6 | maths.bg

Нека

n\ge3

е положително цяло число. Нека

C_1,C_2,\ldots,C_n

са единични окръжности в равнината с центрове съответно

O_1,O_2,\ldots,O_n

. Ако никоя права не пресича повече от две от окръжностите, докажете, че

\sum_{1\le i\lt{}j\le n}\frac1{O_iO_j}\le\frac{(n-1)\pi}{4}.

Бележка към материала

Нека

n\ge3

е положително цяло число. Нека

C_1,C_2,\ldots,C_n

са единични окръжности в равнината с центрове съответно

O_1,O_2,\ldots,O_n

. Ако никоя права не пресича повече от две от окръжностите, докажете, че

\sum_{1\le i\lt{}j\le n}\frac1{O_iO_j}\le\frac{(n-1)\pi}{4}.

Нека

a_{1}, a_{2}, \ldots

е редица от положителни числа, за които

a_{2}=3 a_{1}-1

a_{3}=2 a_{2}-1, a_{4}=3 a_{3}-1, a_{5}=2 a_{4}-1

и т. н. Да се намери най-малката възможна стойност на

a_{1}

Да се намерят всички функции

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

, такива, че

f(-1) \neq 0

f(x y+1)=f(x) f(y)+f(x+y)

за произволни

x, y \in \mathbb{R}

Нека

p

е просто число. Разглеждаме множествата

{\scriptsize X=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{i} \in\{0, 1, \ldots, p-1\}, x \neq(0, 0, 0)\right. }

и първата различна от

0

координата на

x

е 1

\}

\begin{aligned} {\scriptsize Y= \left\{y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \mid y_{i} \in\{p, p+1, \ldots, 2 p-1\}, y \neq(p, p, p)\right. \\ } \end{aligned}

\text{и първата различна от} p \text{координата} \text{на}

\text{е} p+1\}.

Нека

G=(V, E)

е граф с множество от върхове

V=X \cup Y

и множество от ребра

{\scriptsize E=\left\{(x, y) \mid x \in X, y \in Y, x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3} \equiv 0\pmod p\right\} }

Едно множество от върхове

U(U \subseteq V)

ще наричаме представително за

V

, ако всеки връх от

V

се съдържа в

U

или е съседен (свързан с ребро) с връх от

U

. Да се намери минималният брой върхове в едно представително множество за

V.

Да се намери най-малкото естествено число

n

със следното свойство: Както и да оцветим

n

клетки на таблица

1000 \times 1000

винаги има три оцветени клетки, които образуват правоъгълен триъгълник с катети успоредни на страните на таблицата.

Нека

n \geq 4

е естествено число. Да се намерят всички цели числа

a

, за които полиномът

f(x)=x^{n}+a x^{n-1}+63

може да се напише като произведение

p(x) q(x)

на два полинома

p(x), q(x)

с цели коефициенти, всеки от които е от степен поне единица.

Още задачи при скрол