VON IMO 2003/5 | maths.bg

Нека

n

е положително цяло число и нека

x_1\le x_2\le\cdots\le x_n

са реални числа. Докажете, че

\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n |x_i-x_j|\right)^2\le \frac{2(n^2-1)}{3}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (x_i-x_j)^2,

като равенство има тогава и само тогава, когато

x_1,x_2,\ldots,x_n

образуват аритметична прогресия.

Бележка към материала

Нека

n

е положително цяло число и нека

x_1\le x_2\le\cdots\le x_n

са реални числа. Докажете, че

\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n |x_i-x_j|\right)^2\le

\frac{2(n^2-1)}{3}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (x_i-x_j)^2,

като равенство има тогава и само тогава, когато

x_1,x_2,\ldots,x_n

образуват аритметична прогресия.

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Още задачи при скрол