VON IMO 2007/1 | maths.bg

Дадени са реални числа

a_1,a_2,\ldots,a_n

. За всяко

1\le i\le n

полагаме

d_i=\max\left\{a_j:1\le j\le i\right\}-\min\left\{a_j:i\le j\le n\right\},

d=\max\left\{d_i:1\le i\le n\right\}

. а) Докажете, че за всички реални числа

x_1\le x_2\le\cdots\le x_n

е изпълнено

\max_{1\le i\le n}|x_i-a_i|\ge \frac d2.

б) Докажете, че съществува избор на

x_1\le x_2\le\cdots\le x_n

, за който се достига равенство.

Бележка към материала

Дадени са реални числа

a_1,a_2,\ldots,a_n

. За всяко

1\le i\le n

полагаме

d_i=\max\left\{a_j:1\le j\le i\right\}-\min\left\{a_j:i\le j\le n\right\},

d=\max\left\{d_i:1\le i\le n\right\}

. а) Докажете, че за всички реални числа

x_1\le x_2\le\cdots\le x_n

е изпълнено

\max_{1\le i\le n}|x_i-a_i|\ge \frac d2.

б) Докажете, че съществува избор на

x_1\le x_2\le\cdots\le x_n

, за който се достига равенство.

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол