VON IMO 2013/5 | maths.bg

Нека функцията

f:\mathbb Q_{\gt{}0}\to\mathbb R

удовлетворява: (i) ако

x,y\in\mathbb Q_{\gt{}0}

, то

f(x)f(y)\ge f(xy)

; (ii) ако

x,y\in\mathbb Q_{\gt{}0}

, то

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

; (iii) съществува рационално число

a\gt{}1

, за което

f(a)=a

. Докажете, че

f(x)=x

за всички положителни рационални числа

x

Бележка към материала

Нека функцията

f:\mathbb Q_{\gt{}0}\to\mathbb R

удовлетворява: (i) ако

x,y\in\mathbb Q_{\gt{}0}

, то

f(x)f(y)\ge f(xy)

; (ii) ако

x,y\in\mathbb Q_{\gt{}0}

, то

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

; (iii) съществува рационално число

a\gt{}1

, за което

f(a)=a

. Докажете, че

f(x)=x

за всички положителни рационални числа

x

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол