В равнината са дадени отсечки, като всеки две от тях се пресичат и никои три не минават през една точка. Джеф трябва да избере по един край на всяка отсечка и да постави там жаба, обърната към другия край. След това той пляска с ръце пъти. При всяко пляскане всяка жаба веднага скача напред до следващата пресечна точка върху своята отсечка. Жабите никога не сменят посоката на скоковете си. Джеф иска да постави жабите така, че никои две от тях никога да не се окажат в една и съща пресечна точка по едно и също време.
(a) Докажете, че Джеф винаги може да изпълни желанието си, ако е нечетно.
(b) Докажете, че Джеф никога не може да го изпълни, ако е четно.
В равнината са дадени отсечки, като всеки две от тях се пресичат и никои три не минават през една точка. Джеф трябва да избере по един край на всяка отсечка и да постави там жаба, обърната към другия край. След това той пляска с ръце пъти. При всяко пляскане всяка жаба веднага скача напред до следващата пресечна точка върху своята отсечка. Жабите никога не сменят посоката на скоковете си. Джеф иска да постави жабите така, че никои две от тях никога да не се окажат в една и съща пресечна точка по едно и също време.
(a) Докажете, че Джеф винаги може да изпълни желанието си, ако е нечетно.
(b) Докажете, че Джеф никога не може да го изпълни, ако е четно.
Върху ръба на куб е взета точка така, че правата сключва с равнината ( ) ъгъл с големина . Да се намери тангенсът на ъгъла между тази равнина и равнината на основата на куба.
В една социална мрежа някои участници са приятели, а други не (приятелството е взаимно). Известно е, че в социалната мрежа има поне едно приятелство и за никои двама, които имат един и същи брой приятели, не съществува трети участник, който да е приятел едновременно и с двамата. Да се докаже, че съществува участник, който има само един приятел.
Да се докаже, че множеството може да се разбие на 5 групи така, че нито една от тях да не съдъжа 11 членна аритметична прогресия.
Да се реши в естествени числа уравнението .
Да се намери най-малкото естествено число със следното свойствоако в равнината са дадени кръга, никои два от които нямат обща точка, произволни точки от вътрешностите им (по една точка от всеки кръг) и произволна точка , то със сигурност поне едно от разстоянията е по-голямо или равно на радиуса на поне един от кръговете.
Още задачи при скрол