VON IMO 2023/3 | maths.bg

За всяко цяло число

k\ge2

да се намерят всички безкрайни редици от положителни цели числа

a_1,a_2,\ldots

, за които съществува полином

P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0,

където

c_0,c_1,\ldots,c_{k-1}

са неотрицателни цели числа, такъв че

P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}

за всяко цяло число

n\ge1

Бележка към материала

За всяко цяло число

k\ge2

да се намерят всички безкрайни редици от положителни цели числа

a_1,a_2,\ldots

, за които съществува полином

P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0,

където

c_0,c_1,\ldots,c_{k-1}

са неотрицателни цели числа, такъв че

P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}

за всяко цяло число

n\ge1

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол