VON JMO 2010/5 | maths.bg

Две пермутации

a_1,a_2,\ldots,a_{2010}

b_1,b_2,\ldots,b_{2010}

на числата

1,2,\ldots,2010

се наричат пресичащи се, ако

a_k=b_k

за някое

k

1\le k\le2010

. Докажете, че съществуват

1006

пермутации на числата

1,2,\ldots,2010

, такива че всяка друга такава пермутация се пресича с поне една от тези

1006

пермутации.

Бележка към материала

Две пермутации

a_1,a_2,\ldots,a_{2010}

b_1,b_2,\ldots,b_{2010}

на числата

1,2,\ldots,2010

се наричат пресичащи се, ако

a_k=b_k

за някое

k

1\le k\le2010

. Докажете, че съществуват

1006

пермутации на числата

1,2,\ldots,2010

, такива че всяка друга такава пермутация се пресича с поне една от тези

1006

пермутации.

BLANK BLANK BLANK

Да се намерят всички функции

f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}

такива, че

f(x) f(y+f(x))=f(x y+1) \quad \forall x, y\gt{}0.

Да се реши в естествени числа уравнението

(x y-6)^{2}+16=x^{2}+4 y^{2}

Да се намерят всички естествени числа

x, y

z

, за които

7^{x}+13^{y}=2^{z}

Пиратският кораб „Морж“ има 2015 сандъка със съкровища (всички са затворени). Всеки сандък съдържа някакво количество злато и някакво количество сребро като количествата са различни за всеки сандък. При подялбата на златото и среброто екипажът прави следното: Първо, капитан Флинт обявява на останалите пирати колко сандъкаще задържи за себе си. След това той отваря всички сандъци и решава кои ще вземе. Флинт иска да получи поне половината злато и поне половината сребро, но трябва също да се постарае да поиска възможно най-малко сандъци, за да може екипажът му да остане доволен. Колко сандъци трябва да поиска Флинт?

Още задачи при скрол

Клас

Състезания

Тагове

Колекции