Върху единичната окръжност са избрани червени и сини точки, като никоя от тях не е точката . Нека е някаква подредба на червените точки. За всяко свързваме с най-близката синя точка до в посока обратно на часовниковата стрелка, която още не е била използвана. Получаваме дъги, всяка с един червен и един син край. Да се докаже, че броят на тези дъги, които съдържат точката , не зависи от избраната подредба на червените точки.
Върху единичната окръжност са избрани червени и сини точки, като никоя от тях не е точката . Нека е някаква подредба на червените точки. За всяко свързваме с най-близката синя точка до в посока обратно на часовниковата стрелка, която още не е била използвана. Получаваме дъги, всяка с един червен и един син край. Да се докаже, че броят на тези дъги, които съдържат точката , не зависи от избраната подредба на червените точки.
Да се намери най-малкото естествено число , за което уравнениетоняма
Вярно ли е, че за всеки полином с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число , такова че уравнението няма рационален корен?
Да се реши в естествени числа уравнението
Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа За всяко естествено число е изпълнено неравенството . Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа и , за които дели .
Върху страните и на , външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове и . Симетралите на отсечките и пресичат страните и съответно във вътрешни точки и .
a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците и .
б) Да се намерят ъглите и .
Още задачи при скрол