VON JMO 2022/6 | maths.bg

Нека

a_0

b_0

c_0

са комплексни числа и за всяко неотрицателно цяло число

n

са дефинирани

\begin{align*} a_{n+1}&=a_n^2+2b_nc_n,\\ b_{n+1}&=b_n^2+2c_na_n,\\ c_{n+1}&=c_n^2+2a_nb_n. \end{align*}

Да се предположи, че

\max\{|a_n|,|b_n|,|c_n|\}\le2022

за всяко

n\ge0

. Докажете, че

|a_0|^2+|b_0|^2+|c_0|^2\le1.

Бележка към материала

Нека

a_0

b_0

c_0

са комплексни числа и за всяко неотрицателно цяло число

n

са дефинирани

\begin{align*} a_{n+1}&=a_n^2+2b_nc_n,\\ b_{n+1}&=b_n^2+2c_na_n,\\ c_{n+1}&=c_n^2+2a_nb_n. \end{align*}

Да се предположи, че

\max\{|a_n|,|b_n|,|c_n|\}\le2022

за всяко

n\ge0

. Докажете, че

|a_0|^2+|b_0|^2+|c_0|^2\le1.

Да се намерят всички функции

f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}

такива, че

f(x) f(y+f(x))=f(x y+1) \quad \forall x, y\gt{}0.

Да се реши в естествени числа уравнението

(x y-6)^{2}+16=x^{2}+4 y^{2}

BLANK BLANK BLANK

Да се намерят всички естествени числа

x, y

z

, за които

7^{x}+13^{y}=2^{z}

Пиратският кораб „Морж“ има 2015 сандъка със съкровища (всички са затворени). Всеки сандък съдържа някакво количество злато и някакво количество сребро като количествата са различни за всеки сандък. При подялбата на златото и среброто екипажът прави следното: Първо, капитан Флинт обявява на останалите пирати колко сандъкаще задържи за себе си. След това той отваря всички сандъци и решава кои ще вземе. Флинт иска да получи поне половината злато и поне половината сребро, но трябва също да се постарае да поиска възможно най-малко сандъци, за да може екипажът му да остане доволен. Колко сандъци трябва да поиска Флинт?

Още задачи при скрол

Клас

Състезания

Тагове

Колекции