VON TSTST 2020/9 | maths.bg

Десет милиона светулки светят в

\mathbb R^3

в полунощ. Някои от светулките са приятелки, като приятелството винаги е взаимно. Всяка секунда една светулка се премества на ново място така, че разстоянието й до всяка от приятелките й е същото, каквото е било преди преместването. Това е единственият начин, по който светулките някога променят положенията си. Никои две светулки никога не могат да заемат една и съща точка. Първоначално никои две светулки, независимо дали са приятелки, или не, не са на разстояние повече от един метър. След краен брой секунди всички светулки се оказват на разстояние поне десет милиона метра от първоначалните си положения. При тези условия намерете най-големия възможен брой приятелства между светулките.

Бележка към материала

Десет милиона светулки светят в

\mathbb R^3

в полунощ. Някои от светулките са приятелки, като приятелството винаги е взаимно. Всяка секунда една светулка се премества на ново място така, че разстоянието й до всяка от приятелките й е същото, каквото е било преди преместването. Това е единственият начин, по който светулките някога променят положенията си. Никои две светулки никога не могат да заемат една и съща точка. Първоначално никои две светулки, независимо дали са приятелки, или не, не са на разстояние повече от един метър. След краен брой секунди всички светулки се оказват на разстояние поне десет милиона метра от първоначалните си положения. При тези условия намерете най-големия възможен брой приятелства между светулките.

Да се намерят всички функции

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

, такива, че

f(-1) \neq 0

и

f(x y+1)=f(x) f(y)+f(x+y)

за произволни

x, y \in \mathbb{R}

.

Нека

a_{1}, a_{2}, \ldots

е редица от положителни числа, за които

a_{2}=3 a_{1}-1

,

a_{3}=2 a_{2}-1, a_{4}=3 a_{3}-1, a_{5}=2 a_{4}-1

и т. н. Да се намери най-малката възможна стойност на

a_{1}

.

Нека

n \geq 4

е естествено число. Да се намерят всички цели числа

a

, за които полиномът

f(x)=x^{n}+a x^{n-1}+63

може да се напише като произведение

p(x) q(x)

на два полинома

p(x), q(x)

с цели коефициенти, всеки от които е от степен поне единица.

Да се намери най-малкото естествено число

n

със следното свойство: Както и да оцветим

n

клетки на таблица

1000 \times 1000

винаги има три оцветени клетки, които образуват правоъгълен триъгълник с катети успоредни на страните на таблицата.

Нека

p

е просто число. Разглеждаме множествата

{\scriptsize X=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{i} \in\{0, 1, \ldots, p-1\}, x \neq(0, 0, 0)\right. }

и първата различна от

0

координата на

x

е 1

\}

и

\begin{aligned} {\scriptsize Y= \left\{y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \mid y_{i} \in\{p, p+1, \ldots, 2 p-1\}, y \neq(p, p, p)\right. \\ } \end{aligned}

\text{и първата различна от} p \text{координата} \text{на}

y

\text{е} p+1\}.

Нека

G=(V, E)

е граф с множество от върхове

V=X \cup Y

и множество от ребра

{\scriptsize E=\left\{(x, y) \mid x \in X, y \in Y, x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3} \equiv 0\pmod p\right\} }

Едно множество от върхове

U(U \subseteq V)

ще наричаме представително за

V

, ако всеки връх от

V

се съдържа в

U

или е съседен (свързан с ребро) с връх от

U

. Да се намери минималният брой върхове в едно представително множество за

V.

Още задачи при скрол