За положително цяло число са разположени равноотдалечени точки върху окръжност. Една от тях е означена с , а в е поставен маркер. На всеки ход маркерът може да се премести напред по часовниковата стрелка или до следващата точка, или до точката след нея. Така има общо различни хода, по два от всяка точка. Нека е броят на начините маркерът да обиколи окръжността точно два пъти, започвайки и завършвайки в , без да повтаря ход. Докажете, че за всяко .
За положително цяло число са разположени равноотдалечени точки върху окръжност. Една от тях е означена с , а в е поставен маркер. На всеки ход маркерът може да се премести напред по часовниковата стрелка или до следващата точка, или до точката след нея. Така има общо различни хода, по два от всяка точка. Нека е броят на начините маркерът да обиколи окръжността точно два пъти, започвайки и завършвайки в , без да повтаря ход. Докажете, че за всяко .
Нека е естествено число. Да се намерят всички цели числа , за които полиномътможе да се напише като произведение на два полинома с цели коефициенти, всеки от които е от степен поне единица.
Да се намерят всички функции , такива, че иза произволни .
Нека е редица от положителни числа, за които , и т. н. Да се намери най-малката възможна стойност на .
Да се намери най-малкото естествено число със следното свойство:
Както и да оцветим клетки на таблица винаги има три оцветени клетки, които образуват правоъгълен триъгълник с катети успоредни на страните на таблицата.
Нека е просто число. Разглеждаме множествата
и първата различна от координата на е 1 и
y
Нека е граф с множество от върхове и множество от ребра
Едно множество от върхове ще наричаме представително за , ако всеки връх от се съдържа в или е съседен (свързан с ребро) с връх от .
Да се намери минималният брой върхове в едно представително множество за
Още задачи при скрол