Архитектката Алис и строителят Боб играят игра. Първо Алис избира две точки и в равнината и подмножество на равнината, като те се съобщават на Боб. След това Боб отбелязва безкрайно много точки в равнината и обявява всяка от тях за град. Той няма право да поставя два града на разстояние най-много един от друг, а никои три от поставените градове не могат да бъдат колинеарни. Накрая между градовете се строят пътища по следното правило: всяка двойка градове се свързва с път по отсечката тогава и само тогава, когато е изпълнено условието:
за всеки град , различен от и , съществува , така че е директно подобен (със същата ориентация) на или на .
Алис печели, ако (i) получените пътища позволяват пътуване между всеки два града чрез краен брой пътища и (ii) никои два пътя не се пресичат. В противен случай печели Боб. Определете, с доказателство, кой от двамата играчи има печеливша стратегия.
Архитектката Алис и строителят Боб играят игра. Първо Алис избира две точки и в равнината и подмножество на равнината, като те се съобщават на Боб. След това Боб отбелязва безкрайно много точки в равнината и обявява всяка от тях за град. Той няма право да поставя два града на разстояние най-много един от друг, а никои три от поставените градове не могат да бъдат колинеарни. Накрая между градовете се строят пътища по следното правило: всяка двойка градове се свързва с път по отсечката тогава и само тогава, когато е изпълнено условието:
за всеки град , различен от и , съществува , така че е директно подобен (със същата ориентация) на или на .
Алис печели, ако (i) получените пътища позволяват пътуване между всеки два града чрез краен брой пътища и (ii) никои два пътя не се пресичат. В противен случай печели Боб. Определете, с доказателство, кой от двамата играчи има печеливша стратегия.
Върху ръба на куб е взета точка така, че правата сключва с равнината ( ) ъгъл с големина . Да се намери тангенсът на ъгъла между тази равнина и равнината на основата на куба.
В една социална мрежа някои участници са приятели, а други не (приятелството е взаимно). Известно е, че в социалната мрежа има поне едно приятелство и за никои двама, които имат един и същи брой приятели, не съществува трети участник, който да е приятел едновременно и с двамата. Да се докаже, че съществува участник, който има само един приятел.
Да се докаже, че множеството може да се разбие на 5 групи така, че нито една от тях да не съдъжа 11 членна аритметична прогресия.
Да се реши в естествени числа уравнението .
Да се намери най-малкото естествено число със следното свойствоако в равнината са дадени кръга, никои два от които нямат обща точка, произволни точки от вътрешностите им (по една точка от всеки кръг) и произволна точка , то със сигурност поне едно от разстоянията е по-голямо или равно на радиуса на поне един от кръговете.
Още задачи при скрол