zms2006-11-2 | maths.bg

Даден е

\triangle A B C

, в който

\angle A C B=60^{\circ}

. Редицата от точки

A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{2006}

е дефинирана така:

A_{0}=A, A_{1}

е петата на перпендикуляра от

A_{0}

към правата

B C, A_{2}

е петата на перпендикуляра от

A_{1}

към правата

A C

и т. н.,

A_{2006}

е петата на перпендикуляра от

A_{2005}

към правата

A C

. По аналогичен начин е дефинирана редицата

B_{0}, B_{1}, \ldots, B_{2006}: B_{0}=B, B_{1}

е петата на перпендикуляра от

B_{0}

към правата

A C

и т. н. Да се докаже, че правата

A_{2006} B_{2006}

се допира до вписаната в

\triangle A B C

окръжност тогава и само тогава, когато

\frac{A C+B C}{A B}=\frac{2^{2006}+1}{2^{2006}-1}

Бележка към материала

Даден е

\triangle A B C

, в който

\angle A C B=60^{\circ}

. Редицата от точки

A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{2006}

е дефинирана така:

A_{0}=A, A_{1}

е петата на перпендикуляра от

A_{0}

към правата

B C, A_{2}

е петата на перпендикуляра от

A_{1}

към правата

A C

и т. н.,

A_{2006}

е петата на перпендикуляра от

A_{2005}

към правата

A C

. По аналогичен начин е дефинирана редицата

B_{0}, B_{1}, \ldots, B_{2006}: B_{0}=B, B_{1}

е петата на перпендикуляра от

B_{0}

към правата

A C

и т. н. Да се докаже, че правата

A_{2006} B_{2006}

се допира до вписаната в

\triangle A B C

окръжност тогава и само тогава, когато

\frac{A C+B C}{A B}=\frac{2^{2006}+1}{2^{2006}-1}

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол

Клас

Състезания

Тагове

Колекции