zms2017-9-4 | maths.bg

За целите неотрицателни числа

\begin{aligned} a & =a_{n-1} 2^{n-1}+a_{n-2} 2^{n-2}+\cdots+a_{1} \cdot 2+a_{0} b & =b_{n-1} 2^{n-1}+b_{n-2} 2^{n-2}+\cdots+b_{1} \cdot 2+b_{0} \end{aligned}

a_{i}, b_{i} \in\{0, 1\}

, дефинираме

a \oplus b=c=c_{n-1} 2^{n-1}+c_{n-2} 2^{n-2}+\cdots+c_{1} \cdot 2+c_{0}

където

c_{i}= \begin{cases}0 & \text{ако} a_{i}=b_{i} 1 & \text{ако} a_{i} \neq b_{i}\end{cases}

Дадени са три цели числа

0 \leq u, v, w \leq 2^{n}-1

, за които е изпълнено

u\lt{}v \oplus w, \quad v\lt{}u \oplus w

Да се докаже, че

u \oplus v\lt{}w

Бележка към материала

За целите неотрицателни числа

\begin{aligned} a & =a_{n-1} 2^{n-1}+a_{n-2} 2^{n-2}+\cdots+a_{1} \cdot 2+a_{0} b & =b_{n-1} 2^{n-1}+b_{n-2} 2^{n-2}+\cdots+b_{1} \cdot 2+b_{0} \end{aligned}

a_{i}, b_{i} \in\{0, 1\}

, дефинираме

a \oplus b=c=c_{n-1} 2^{n-1}+c_{n-2} 2^{n-2}+\cdots+c_{1} \cdot 2+c_{0}

където

c_{i}= \begin{cases}0 & \text{ако} a_{i}=b_{i} 1 & \text{ако} a_{i} \neq b_{i}\end{cases}

Дадени са три цели числа

0 \leq u, v, w \leq 2^{n}-1

, за които е изпълнено

u\lt{}v \oplus w, \quad v\lt{}u \oplus w

Да се докаже, че

u \oplus v\lt{}w

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол