zms2018-12-3 | maths.bg

Дадени са реални числа

a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3}

. Да се докаже, че неравенството

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \geq 2\left(a_{1} x_{2} x_{3}+a_{2} x_{3} x_{1}+a_{3} x_{1} x_{2}\right)

е изпъленено за произволни реални числа

x_{1}, x_{2}, x_{3}

тогава и само тогава, когато съществуват числа

\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3} \in[0, \pi]

такива, че

\left|\pi-\theta_{1}-\theta_{2}\right| \leq \theta_{3}

a_{1}=\cos \theta_{1}, a_{2}=\cos \theta_{2}, a_{3}=\cos \theta_{3}

Бележка към материала

Дадени са реални числа

a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3}

. Да се докаже, че неравенството

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \geq 2\left(a_{1} x_{2} x_{3}+a_{2} x_{3} x_{1}+a_{3} x_{1} x_{2}\right)

е изпъленено за произволни реални числа

x_{1}, x_{2}, x_{3}

тогава и само тогава, когато съществуват числа

\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3} \in[0, \pi]

такива, че

\left|\pi-\theta_{1}-\theta_{2}\right| \leq \theta_{3}

a_{1}=\cos \theta_{1}, a_{2}=\cos \theta_{2}, a_{3}=\cos \theta_{3}

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол