maths.bgmaths.bg
Всички колекции
NMC

Nordic Mathematical Contest, NMC 22

3 задачи от базата, подредени за бързо решаване по година или клас. Показаните източници са тези, записани към самите задачи.

1 години1 класа
По годинаПо клас

Избрана година

Без година

Назад към папките

9-12

3 задачи

Задача 1

Пълен запис
Условие
Определете всички реални числа AA, BB и CC, за които съществува реална функция ff, удовлетворяващаf(x+f(y))=Ax+By+Cf(x+f(y))=Ax+By+Cза всички реални xx и yy.
РешениеНека AA, BB, CC са реални числа и ff е функция, за коятоf(x+f(y))=Ax+By+Cf(x+f(y))=Ax+By+Cза всички реални x,yx,y. Нека zz е реално число и поставим x=z−f(0)x=z-f(0), y=0y=0. Тогаваf(z)=f(z−f(0)+f(0))=f(z)=f(z-f(0)+f(0))=A(z−f(0))+B⋅0+C=Az−Af(0)+C.A(z-f(0))+B\cdot0+C=Az-Af(0)+C.Следователно съществуват реални числа a,ba,b, за коитоf(z)=az+bf(z)=az+bза всяко zz. Тогаваf(x+f(y))=ax+a2y+(a+1)b,f(x+f(y))=ax+a^2y+(a+1)b,така че(A,B,C)=(a,a2,(a+1)b),(A,B,C)=\left(a,a^2,(a+1)b\right),където a,ba,b са произволни реални числа. Еквивалентно,(A,B,C)=(a,a2,c),(A,B,C)=\left(a,a^2,c\right),където a≠−1a\ne-1 и cc е произволно реално число, или(A,B,C)=(−1,1,0).(A,B,C)=(-1,1,0).
Отвори задачатаMathNetNMC 22/1Условие — източник

Задача 2

Пълен запис
Условие
Нека n≥3n\ge3 души с различни имена седят около кръгла маса. Наричаме неупоредена двойка от тях, например MM и NN, доминираща, ако: **(i)** MM и NN не седят на съседни места; **(ii)** по една от двете дъги по ръба на масата, които свързват MM и NN, всички хора имат имена, идващи азбучно след имената на MM и NN. Определете минималния брой доминиращи двойки.
РешениеЩе докажем с индукция, че броят на доминиращите двойки, а следователно и минималният им брой, еn−3n-3за n≥3n\ge3. При n=3n=3 всяка двойка седи на съседни места, така че доминиращи двойки няма. Да допуснем, че броят им е n−3n-3 за някое n>3n\gt{}3. При n+1n+1 души нека човекът с азбучно последното име напусне масата. Двамата, седели до него, са образували доминираща двойка, която вече не е доминираща. От друга страна, всяка друга доминираща двойка остава доминираща в новата конфигурация от nn души, а всяка доминираща двойка в новата конфигурация е била доминираща и в старата. Броят на доминиращите двойки в новата конфигурация е n−3n-3, следователно броят им в старата е(n+1)−3.(n+1)-3.
Отвори задачатаMathNetNMC 22/2Условие — източник

Задача 3

Пълен запис
Условие
Разликата между кубовете на две последователни положителни цели числа е квадрат n2n^2, където nn е положително цяло число. Докажете, че nn е сума от два квадрата.
РешениеНека(m+1)3−m3=n2.(m+1)^3-m^3=n^2.След преобразуване получаваме3(2m+1)2=(2n+1)(2n−1).3(2m+1)^2=(2n+1)(2n-1).Числата 2n+12n+1 и 2n−12n-1 са взаимно прости: евентуален общ делител би делил разликата им 22, а и двете са нечетни. Затова едното от тях е квадрат на нечетно цяло число, а другото, разделено на 33, е квадрат. Квадратът на нечетно число минус 11 се дели на 44, защото(2t+1)2−1=4(t2+t).(2t+1)^2-1=4(t^2+t).От първото равенство следва, че nn е нечетно; нека n=2k+1n=2k+1. Тогава2n+1=4k+3,2n+1=4k+3,затова квадратът трябва да е 2n−12n-1. Нека2n−1=(2t+1)2.2n-1=(2t+1)^2.Преобразуването даваn=t2+(t+1)2,n=t^2+(t+1)^2,което доказва твърдението. Например83−73=(22+32)2.8^3-7^3=(2^2+3^2)^2.
Отвори задачатаMathNetNMC 22/3Условие — източник