maths.bgmaths.bg
Всички колекции
KMOM

Контролно за национален отбор за МОМ

9 задачи от базата, подредени за бързо решаване по година или клас. Показаните източници са тези, записани към самите задачи.

1 години1 класаИма видими липси
По годинаПо клас

Избрана година

2019

Назад към папките

Открити липси за попълване от източника

  • kmom2019-9-1: има placeholder текст
  • kmom2019-9-2: има placeholder текст
  • kmom2019-9-3: има placeholder текст
  • kmom2019-9-4: има placeholder текст
  • kmom2019-9-5: има placeholder текст
  • kmom2019-9-6: има placeholder текст

9

9 задачи

Задача 1

Нужна е проверка
Условие
BLANK BLANK BLANK
РешениеBLANK BLANK BLANK
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmom2019-9-1

Задача 1b

Пълен запис
Условие
За произволно естествено число nn с десетичен запис n=d1d2…dk‾n=\overline{d_{1} d_{2} \ldots d_{k}} дефинираме операцията Плевенски избор, както следва: • Избираме двойка индекси (i,j),1≤i≤j≤k,di≠0(i, j), 1 \leq i \leq j \leq k, d_{i} \neq 0 и разглеждаме подчислото s=didi+1…dj‾s=\overline{d_{i} d_{i+1} \ldots d_{j}}. • В записа на nn заместваме низа ss със записа на числото 2s2 s или на числото s/2s / 2 (когато djd_{j} е четно). Например, от числото 2019, чрез един Плевенски избор можем да получим всяко от числата 4019, 4029, 4038, 1019, 2029, 2038, 20118.\text{ 4019, 4029, 4038, 1019, 2029, 2038, } 20118.Две числа ще наричаме свързани, ако могат да се получат едно от друго посредством краен брой Плевенски избори. Да се пресметне вероятността, две произволно избрани kk-цифрени естествени числа да са свързани.
РешениеДа означим търсената вероятност с PkP_{k}. Нека първо разгледаме случая k=1k=1. Ясно е, че ако вземем числото 5, то всяко друго число свързано с него ще завършва или на 5 или на 0 и значи 5 не е свързано с никое друго едноцифрено число. Ще покажем, че всеки две от останалите осем числа са свързани. Тъй като операцията "избор по Плевенски" е транзитивна, достатъчно е да проверим, че 1 е свързано с {2,3,4,6,7,8,9}\{2,3,4,6,7,8,9\}. Наистина, $$
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmom2019-9-1b

Задача 2

Нужна е проверка
Условие
BLANK BLANK BLANK
РешениеBLANK BLANK BLANK
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmom2019-9-2

Задача 2b

Пълен запис
Условие
Даден е остроъгълен триъгълник ABC(BC>AC)A B C(B C\gt{}A C) и описаната около него окръжност kk с център OO. Допирателната към kk в точка CC пресича правата ABA B в точка DD. Описаните окръжности около триъгълниците BCD,OCDB C D, O C D и AOBA O B пресичат лъча CAC A (след точка AA ) съответно в точките Q,PQ, P и KK. Точката TT е пресечната точка на правата PDP D и описаната окръжност около триъгълник BKQB K Q, която е в различна полуравнина спрямо PP относно правата BQB Q. Да се докаже, че TB=TQT B=T Q.
РешениеНека означим с XX средата на отсечката ABA B. Тогава, петоъгълникът PXOCDP X O C D е вписан в окръжност с диаметър ODO D, следователно ∠PXA=∠PXD=∠PCD=∠QCD=∠QBA\angle P X A=\angle P X D=\angle P C D=\angle Q C D=\angle Q B A (последното следва от вписаността на QBCDQ B C D ). Значи PX∥QBP X \| Q B и PP е среда на отсечката AQA Q. Нека сега вземем точката T1T_{1} да бъде средата на дъгата BQB Q на описаната около триъгълник BKQB K Q окръжност, не съдържаща KK. Тъй като ∠DPO=90∘\angle D P O=90^{\circ}, достатъчно е да покажем, че ∠OPT1=90∘\angle O P T_{1}=90^{\circ}. Наистина, тогава T≡T1T \equiv T_{1} и ще следва, че TB=TQT B=T Q. Да означим с YY средата на BQB Q. Тогава ∠OXB=∠T1YB=90∘\angle O X B=\angle T_{1} Y B=90^{\circ} и ∠XBO=∠AKB2=∠BT1Q2=∠BT1Y\angle X B O=\frac{\angle A K B}{2}=\frac{\angle B T_{1} Q}{2}=\angle B T_{1} Y, следователно △OXB∼△BYT1\triangle O X B \sim \triangle B Y T_{1}. Оттук следва, чеOXXP=OXBY=XBT1Y=PYT1Y,\frac{O X}{X P}=\frac{O X}{B Y}=\frac{X B}{T_{1} Y}=\frac{P Y}{T_{1} Y},което заедно с ∠PXB=∠PYB\angle P X B=\angle P Y B и ∠OXB=∠T1YB\angle O X B=\angle T_{1} Y B води до △OXP∼△PYT1\triangle O X P \sim \triangle P Y T_{1}. В заключение,∠OPT1=∠XPY+∠XPO+∠YPT1=\angle O P T_{1}=\angle X P Y+\angle X P O+\angle Y P T_{1}=∠PXA+∠XPO+∠XOP=90∘\angle P X A+\angle X P O+\angle X O P=90^{\circ}
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmom2019-9-2b

Задача 3

Нужна е проверка
Условие
BLANK BLANK BLANK
РешениеBLANK BLANK BLANK
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmom2019-9-3

Задача 3b

Пълен запис
Условие
За полиномът P(x)P(x) с реални коефициенти е изпълнено, че P(x)>0P(x)\gt{}0 за всяко x>0x\gt{}0. Да се докаже, че PP е частно на два полинома с неотрицателни коефициенти.
РешениеНека P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0}. Тогава,P(x)=an∏i(x+ci)∏j(x2+ejx+dj),P(x)=a_{n} \prod_{i}\left(x+c_{i}\right) \prod_{j}\left(x^{2}+e_{j} x+d_{j}\right),където {ci}\left\{c_{i}\right\} и {dj}\left\{d_{j}\right\} са неотрицателни редици (дори dj>ej2/4d_{j}\gt{}e_{j}^{2} / 4 ). Тъй като произведение на два полинома с неотрицаелни коефициенти отново е полином с неотрицателни коефициенти, достатъчно е да докажем, че условието на задачата е изпълнено за всеки от квадратните тричлени. Полагайки y=x/x2djy=x / \sqrt{\vphantom{x^2}d_{j}}, общият вид на квадратния тричлен добива формата y2−δy+1y^{2}-\delta y+1, където ∣δ∣<2|\delta|\lt{}2. Ако δ≤0\delta \leq 0 няма какво да правим, следователно интересният случай е 0<δ<20\lt{}\delta\lt{}2. Остава да докажем, че при всеки избор на δ\delta в упоменатия интервал, съответния квадратен тричлен е частно на два полинома с неотрицателни коефициенти. Да разгледаме полиномът Pˉ(y):=y2+δy+1\bar{P}(y): =y^{2}+\delta y+1. Очевидно Pˉ\bar{P} е полином с неотрицателни коефициенти. Да означим с P(1):=P⋅Pˉ=y4+(2−δ2)y2+1P^{(1)}: =P \cdot \bar{P}=y^{4}+\left(2-\delta^{2}\right) y^{2}+1. Ако 2−δ2≥02-\delta^{2} \geq 0, то P(1)P^{(1)} е полином с неотрицателни коефициенти и P=P(1)/PˉP=P^{(1)} / \bar{P}. Ако неполагаме z:=y2z: =y^{2} и имаме, че 0<δ1:=δ2−2<20\lt{}\delta_{1}: =\delta^{2}-2\lt{}2. Следователно, достатъчно е да докажем, че всяка редица δn+1=δn2−2\delta_{n+1}=\delta_{n}^{2}-2 с 0<δ0<20\lt{}\delta_{0}\lt{}2 съдържа отрицателен член. Допускаме противното. Тогава по индукция δn<2\delta_{n}\lt{}2, за всяко nn иδn+1−δn=δn2−δn−2=(δn+1)(δn−2)<0\delta_{n+1}-\delta_{n}=\delta_{n}^{2}-\delta_{n}-2=\left(\delta_{n}+1\right)\left(\delta_{n}-2\right)\lt{}0Редицата е монотонно намаляваща и ограничена, следователносходяща. Но кандидатите за граница са 2 и -1 и не са в интервала, който разглеждаме. Следователно няма как всичките членове на редицата да са в [0,2)[0, 2). С това доказателството е завършено.
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmom2019-9-3b

Задача 4

Нужна е проверка
Условие
BLANK BLANK BLANK
РешениеBLANK BLANK BLANK
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmom2019-9-4

Задача 5

Нужна е проверка
Условие
BLANK BLANK BLANK
РешениеBLANK BLANK BLANK
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmom2019-9-5

Задача 6

Нужна е проверка
Условие
BLANK BLANK BLANK
РешениеBLANK BLANK BLANK
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmom2019-9-6